Упр.44.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = arcsin х2; б) у = arcctg корень x; в) у = arccos корень х; г) у = arctg2 х.
а) $$y=\arcsin x^2$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$
Область определения: $$x^2\le 1,$$ значит $$x\in[-1;1].$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак производной определяется числителем $$2x$$:
$$y’>0 \text{ при } x>0,\qquad y'<0 \text{ при } x<0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[-1;0].$$
б) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ имеем $$y'<0,$$ значит функция убывает на всей области определения.
Итак, функция убывает на $$[0;+\infty).$$
в) $$y=\arccos\sqrt{x}$$
Область определения: $$0\le x\le 1.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}.$$
На промежутке $$0<x<1$$ производная отрицательна, значит функция убывает.
Следовательно, функция убывает на $$[0;1].$$
г) $$y=\operatorname{arctg}^2 x$$
Найдём производную:
$$y’=2\operatorname{arctg}x\cdot \frac{1}{1+x^2}=\frac{2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}.$$
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком $$\operatorname{arctg}x$$:
$$y’>0 \text{ при } x>0,\qquad y'<0 \text{ при } x<0.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0].$$
Ответ
а) возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[-1;0]$$; б) убывает на $$[0;+\infty)$$; в) убывает на $$[0;1]$$; г) возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0].$$
