Упр.44.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = корень(х2 — 6х + 8); б) у = корень(5х — 2 — 2х2).

1. а) $$y=\sqrt{x^2-6x+8}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{(x^2-6x+8)’}{2\sqrt{x^2-6x+8}}=\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+8}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}.$$

   Так как знаменатель положителен при существовании функции, знак производной определяется числителем:

   $$y’ \ge 0 \iff x-3 \ge 0 \iff x \ge 3.$$

   Найдём область определения:

   $$x^2-6x+8 \ge 0,$$

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4),$$

   $$ (x-2)(x-4)\ge 0 \iff x\le 2 \text{ или } x\ge 4.$$

   Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-\infty;2]$$ и возрастает на промежутке $$[4;+\infty).$$

2. б) $$y=\sqrt{5x-2-2x^2}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{(5x-2-2x^2)’}{2\sqrt{5x-2-2x^2}}=\frac{5-4x}{2\sqrt{5x-2-2x^2}}.$$

   Знак производной определяется числителем:

   $$y’ \ge 0 \iff 5-4x \ge 0 \iff x \le \frac54.$$

   Найдём область определения:

   $$5x-2-2x^2 \ge 0,$$

   $$-2x^2+5x-2=0.$$

   $$D=5^2-4\cdot(-2)\cdot(-2)=25-16=9,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{-4}, \quad x_1=\frac12,\; x_2=2.$$

   Тогда

   $$-2\left(x-\frac12\right)(x-2)\ge 0 \iff \frac12 \le x \le 2.$$

   На области определения получаем: функция возрастает на $$\left[\frac12;\frac54\right]$$ и убывает на $$\left[\frac54;2\right].$$

Ответ

а) возрастает на $$[4;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;2]$$;

б) возрастает на $$\left[\frac12;\frac54\right]$$, убывает на $$\left[\frac54;2\right].$$