Упр.44.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = sin2 х; 6) y = 1/cos3 x в) у = cos2 х; г) у = 1/sin5 x
а) $$y=\sin^2 x$$
Пусть $$u=\sin x$$, тогда $$y=u^2$$.
Найдём производную:
$$y’=(u^2)’ \cdot (\sin x)’=2u\cos x=2\sin x\cos x=\sin 2x.$$
Функция возрастает, когда $$y’ \ge 0$$, то есть
$$\sin 2x \ge 0.$$
Отсюда
$$2\pi n \le 2x \le \pi+2\pi n,$$
$$\pi n \le x \le \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Функция убывает, когда $$y’ \le 0$$, то есть
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi n.$$
б) $$y=\frac{1}{\cos^3 x}$$
Пусть $$u=\cos x$$, тогда $$y=u^{-3}$$.
Найдём производную:
$$y’=(u^{-3})’ \cdot (\cos x)’=-3u^{-4}\cdot(-\sin x)=\frac{3\sin x}{\cos^4 x}.$$
Область определения: $$\cos x \ne 0,$$ то есть $$x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Для возрастания нужно
$$\frac{3\sin x}{\cos^4 x}\ge 0.$$
Так как $$\cos^4 x>0$$ на области определения, получаем
$$\sin x\ge 0.$$
Значит, функция возрастает на
$$\left[2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right].$$
Убывает на промежутках, где $$\sin x\le 0$$:
$$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right).$$
в) $$y=\cos^2 x$$
Пусть $$u=\cos x$$, тогда $$y=u^2$$.
Найдём производную:
$$y’=(u^2)’ \cdot (\cos x)’=2u(-\sin x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x.$$
Функция возрастает, когда
$$-\sin 2x\ge 0,$$
то есть
$$\sin 2x\le 0.$$
Отсюда
$$-\pi+2\pi n \le 2x \le 2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi n.$$
Функция убывает на
$$\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right].$$
г) $$y=\frac{1}{\sin^5 x}$$
Пусть $$u=\sin x$$, тогда $$y=u^{-5}$$.
Найдём производную:
$$y’=(u^{-5})’ \cdot (\sin x)’=-5u^{-6}\cos x=-\frac{5\cos x}{\sin^6 x}.$$
Область определения: $$\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi n.$$
Для убывания нужно
$$-\frac{5\cos x}{\sin^6 x}\le 0.$$
Так как $$\sin^6 x>0$$ на области определения, получаем
$$\cos x\ge 0.$$
Следовательно, функция убывает на
$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right].$$
Функция возрастает на
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right].$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n\right]$$;
б) возрастает на $$\left[2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$;
г) убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, возрастает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right].$$
