Упр.44.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = корень(3x — 1); б) y = корень(l — х) + 2х; в) у = корень(l — 2х); г) у =корень(2x — 1) — х.
а) $$y=\sqrt{3x-1}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{3x-1}\right)’=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}.$$
При $$3x-1>0$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает на области определения.
Область определения:
$$3x-1\ge 0,\quad x\ge \frac13.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$
б) $$y=\sqrt{1-x}+2x$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{1-x}\right)’+(2x)’=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+2.$$
Исследуем знак производной:
$$2-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\ge 0$$
$$4\sqrt{1-x}-1\ge 0$$
$$4\sqrt{1-x}\ge 1$$
$$16(1-x)\ge 1$$
$$16-16x\ge 1$$
$$15\ge 16x,\quad x\le \frac{15}{16}.$$
Область определения:
$$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$
Значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right].$$
в) $$y=\sqrt{1-2x}$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{1-2x}\right)’=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}.$$
При всех допустимых значениях $$x$$ производная отрицательна, значит функция убывает.
Область определения:
$$1-2x\ge 0,\quad x\le \frac12.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right].$$
г) $$y=\sqrt{2x-1}-x$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\sqrt{2x-1}\right)’-x’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1.$$
Исследуем знак производной:
$$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1\ge 0$$
$$1\ge \sqrt{2x-1}$$
$$1\ge 2x-1$$
$$2\ge 2x,\quad x\le 1.$$
Область определения:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Значит, функция возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
Ответ
а) $$\left[\frac13;+\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и $$\left[\frac{15}{16};1\right]$$; в) $$\left(-\infty;\frac12\right]$$; г) $$\left[\frac12;1\right]$$ и $$\left[1;+\infty\right).$$
