Упр.44.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите промежутки монотонности функции: a) у = (3x — 1)/(3x + 1) б) y = (1 — 2x)/(3 + 2x)

а) $$y=\frac{3x-1}{3x+1}$$

Найдём производную по формуле производной дроби:

$$ y’=\frac{(3x-1)'(3x+1)-(3x-1)(3x+1)’}{(3x+1)^2} =\frac{3(3x+1)-3(3x-1)}{(3x+1)^2} =\frac{6}{(3x+1)^2}. $$

Так как $$ (3x+1)^2>0 $$ при всех $$x$$, кроме $$x=-\frac13$$, то $$y’>0$$ на области определения функции.

Область определения:

$$3x+1\ne 0 \Rightarrow x\ne -\frac13.$$

Значит, функция возрастает на промежутках

$$(-\infty;-\tfrac13)\cup(-\tfrac13;+\infty).$$

б) $$y=\frac{1-2x}{3+2x}$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac{(1-2x)'(3+2x)-(1-2x)(3+2x)’}{(3+2x)^2} =\frac{-2(3+2x)-2(1-2x)}{(3+2x)^2} =\frac{-8}{(3+2x)^2}. $$

Так как $$ (3+2x)^2>0 $$ при всех $$x$$, кроме $$x=-\frac32$$, то $$y'<0$$ на области определения функции.

Область определения:

$$3+2x\ne 0 \Rightarrow x\ne -\frac32.$$

Следовательно, функция убывает на промежутках

$$(-\infty;-\tfrac32)\cup(-\tfrac32;+\infty).$$

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;-\tfrac13)\cup(-\tfrac13;+\infty)$$;

б) убывает на $$(-\infty;-\tfrac32)\cup(-\tfrac32;+\infty)$$.