Упр.44.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите промежутки монотонности функции: a) у = х3 + 2х; б) у = 60 + 45х — Зх2 — х3; в) у = 2х3 — Зх2 — 36х + 40; г) У = -х5 + 5х.

а) $$y=x^3+2x$$

Найдём производную:

$$y’=(x^3)’+(2x)’=3x^2+2.$$

Так как $$3x^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то

$$y’=3x^2+2>0.$$

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

б) $$y=60+45x-3x^2-x^3$$

Найдём производную:

$$y’=45-6x-3x^2.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$45-6x-3x^2=0$$

$$-3(x^2+2x-15)=0$$

$$x^2+2x-15=0$$

$$x_1=-5,\quad x_2=3.$$

Тогда

$$y’=-3(x+5)(x-3).$$

Знак производной:

$$y’>0 \text{ на } [-5;3], \qquad y'<0 \text{ на } (-\infty;-5]\cup[3;+\infty).$$

в) $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

Найдём производную:

$$y’=6x^2-6x-36.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$6x^2-6x-36=0$$

$$x^2-x-6=0$$

$$x_1=-2,\quad x_2=3.$$

Тогда

$$y’=6(x+2)(x-3).$$

Знак производной:

$$y’>0 \text{ на } (-\infty;-2]\cup[3;+\infty), \qquad y'<0 \text{ на } [-2;3].$$

г) $$y=-x^5+5x$$

Найдём производную:

$$y’=-(x^5)’+(5x)’=-5x^4+5.$$

Решим неравенство $$y’\ge 0$$:

$$-5x^4+5\ge 0$$

$$x^4\le 1$$

$$-1\le x\le 1.$$

Значит, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает вне этого промежутка.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;

б) возрастает на $$[-5;3]$$, убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$;

в) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-2;3]$$;

г) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.