Упр.44.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (3x + 7)/(x + 2) на (-оо; +оо); б) у = (-4x + 1)/(2x + 1) на (-оо; +оо).
Функция убывает на всей области определения, если её производная отрицательна при всех допустимых значениях x.
а) $$y=\frac{3x+7}{x+2}, \quad x\ne -2.$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(3x+7)'(x+2)-(3x+7)(x+2)’}{(x+2)^2} =\frac{3(x+2)-(3x+7)}{(x+2)^2} =\frac{3x+6-3x-7}{(x+2)^2} =-\frac{1}{(x+2)^2}. $$
Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при всех $$x\ne -2,$$ то
$$y'<0.$$
Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения:
$$(-\infty;-2)\ \text{и}\ (-2;+\infty).$$
б) $$y=\frac{-4x+1}{2x+1}, \quad x\ne -\frac12.$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(-4x+1)'(2x+1)-(-4x+1)(2x+1)’}{(2x+1)^2} =\frac{-4(2x+1)-2(-4x+1)}{(2x+1)^2} =\frac{-8x-4+8x-2}{(2x+1)^2} =-\frac{6}{(2x+1)^2}. $$
Так как $$ (2x+1)^2>0 $$ при всех $$x\ne -\frac12,$$ то
$$y'<0.$$
Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения:
$$(-\infty;-\tfrac12)\ \text{и}\ (-\tfrac12;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-\tfrac12)$$ и $$(-\tfrac12;+\infty)$$.
