Упр.44.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная функция убывает: a) у = -х3 — 6х + 3 на (-оо; +оо); б) у = -2х5 — 7х3 — х + 8 на (-оо; +оо); в) У = -х3 + Зx2 — 6x + 1 на (-оо; +оо); г) у = -4х3 + 4×2 — 2x + 9 на (-оо; +оо).

Подробный ответ

Функция убывает на всей числовой прямой, если её производная отрицательна при любом допустимом значении $$x$$.

$$y=-x^3-5x+3$$
$$y’=-3x^2-5$$
Так как $$-3x^2\le 0$$, то $$y’=-3x^2-5<0$$ при любом $$x$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.
$$y=-2x^5-7x^3-x+8$$
$$y’=-10x^4-21x^2-1$$
Поскольку $$-10x^4\le 0$$ и $$-21x^2\le 0$$, то $$y’<0$$ при любом $$x$$. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.
$$y=-x^3+3x^2-6x+1$$
$$y’=-3x^2+6x-6$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $$-3x^2+6x-6$$. Его дискриминант:
$$D=6^2-4\cdot(-3)\cdot(-6)=36-72=-36<0$$
Так как старший коэффициент $$a=-3<0$$ и корней нет, то $$y'<0$$ при любом $$x$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.
$$y=-4x^3+4x^2-2x+9$$
$$y’=-12x^2+8x-2$$
Найдём дискриминант:
$$D=8^2-4\cdot(-12)\cdot(-2)=64-96=-32<0$$
Так как $$a=-12<0$$ и корней нет, то $$y'<0$$ при любом $$x$$. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.