Упр.44.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (4x)/(4x + 1) на (-1/4; +оо); б) у = (2x — 13)/(x — 5) на (-оо; 5);

Функция возрастает на промежутке, если её производная неотрицательна при всех допустимых значениях $$x$$.

1. $$y=\frac{4x}{4x+1}, \quad x\in\left(-\frac14;+\infty\right)$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{(4x)'(4x+1)-4x(4x+1)’}{(4x+1)^2} =\frac{4(4x+1)-4x\cdot 4}{(4x+1)^2} =\frac{16x+4-16x}{(4x+1)^2} =\frac{4}{(4x+1)^2}. $$

   Так как $$ (4x+1)^2>0 $$ при всех допустимых $$x$$, то $$y’>0$$ на всём промежутке $$\left(-\frac14;+\infty\right)$$. Значит, функция возрастает.

2. $$y=\frac{2x-13}{x-5}, \quad x\in(-\infty;5)$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{(2x-13)'(x-5)-(2x-13)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{2(x-5)-(2x-13)}{(x-5)^2} =\frac{2x-10-2x+13}{(x-5)^2} =\frac{3}{(x-5)^2}. $$

   Так как $$ (x-5)^2>0 $$ при всех допустимых $$x$$, то $$y’>0$$ на всём промежутке $$(-\infty;5)$$. Значит, функция возрастает.

Ответ

а) $$\left(-\frac14;+\infty\right)$$; б) $$(-\infty;5)$$.