Упр.44.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = 2×3 + 2×2 + 11x — 35 на (-оо; +оо); б) у = Зx3 — 6×2 + 41x — 137 на (-оо; +оо).

Подробный ответ

Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при любом допустимом значении $$x$$.

а) $$y=2x^3+2x^2+11x-35$$ на $$(-\infty;+\infty)$$.

Найдём производную:

$$y’=(2x^3)’ + (2x^2)’ + (11x-35)’ = 6x^2+4x+11.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$6x^2+4x+11$$. Его дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 6\cdot 11=16-264=-248<0.$$

Так как старший коэффициент $$6>0$$, то $$6x^2+4x+11>0$$ при любом $$x$$. Значит, $$y’>0$$ на всей числовой прямой, и функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

б) $$y=3x^3-6x^2+41x-137$$ на $$(-\infty;+\infty)$$.

Найдём производную:

$$y’=(3x^3)’-(6x^2)’ + (41x-137)’ = 9x^2-12x+41.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$9x^2-12x+41$$. Его дискриминант:

$$D=(-12)^2-4\cdot 9\cdot 41=144-1476=-1332<0.$$

Так как старший коэффициент $$9>0$$, то $$9x^2-12x+41>0$$ при любом $$x$$. Следовательно, $$y’>0$$ на всей числовой прямой, и функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.