Упр.44.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная функция возрастает: a) у = х5 + Зх — 6 на (-оо; +оо); б) у = 15 — 2/x — 1/x3 на (-оо, 0); в) у = х7 + 7х3 + 2x — 42 на (-оо; +оо); г) у = 21x — 1/x5 на (0, +оо).
Функция возрастает на промежутке, если её производная неотрицательна при всех допустимых значениях переменной.
$$y=x^5+3x-6,\quad x\in(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x^5)’+(3x-6)’=5x^4+3$$
Так как $$5x^4\ge 0$$ при любом $$x$$, то
$$y’=5x^4+3>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3},\quad x\in(-\infty;0)$$
$$y’ = 0 — 2\left(\frac{1}{x}\right)’ — \left(x^{-3}\right)’ = -2\left(-\frac{1}{x^2}\right)-(-3x^{-4})$$
$$y’=\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}=\frac{2x^2+3}{x^4}$$
На области определения $$x\ne 0$$, поэтому $$x^4>0$$, а числитель $$2x^2+3>0.$$ Следовательно,
$$y’>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0).$$
$$y=x^7+7x^3+2x-42,\quad x\in(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x^7)’+7(x^3)’+(2x-42)’=7x^6+21x^2+2$$
Так как $$7x^6\ge 0$$ и $$21x^2\ge 0$$, то
$$y’=7x^6+21x^2+2>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=21x-\frac{1}{x^5},\quad x\in(0;+\infty)$$
$$y’=(21x)’-(x^{-5})’=21-(-5x^{-6})=21+\frac{5}{x^6}$$
Так как на области определения $$x>0$$, то $$x^6>0$$ и $$\frac{5}{x^6}>0.$$ Значит,
$$y’>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Ответ
а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$(-\infty;0)$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$\left(0;+\infty\right).$$
