Упр.44.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности. a) у = х5 + 6х3 — 7; б) у = х — cos х + 8; в) у = sin х — 2х — 15; г) у = 11 — 5x — х3.

Функция монотонна на всей числовой прямой, если её производная сохраняет один и тот же знак при всех допустимых значениях $$x$$.

1. $$y=x^5+6x^3-7$$

   $$y’=(x^5)’+6(x^3)’-(7)’=5x^4+18x^2.$$

   Так как $$5x^4\ge 0$$ и $$18x^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то $$y’\ge 0$$ на всей числовой прямой. Значит, функция возрастает.

2. $$y=x-\cos x+8$$

   $$y’=(x)’-(\cos x)’+(8)’=1+\sin x.$$

   Поскольку $$-1\le \sin x\le 1$$, то $$y’\ge 0$$ при любом $$x$$. Значит, функция возрастает.

3. $$y=\sin x-2x-15$$

   $$y’=(\sin x)’-(2x)’-(15)’=\cos x-2.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то $$\cos x-2\le -1<0$$ при любом $$x$$. Значит, функция убывает.

4. $$y=11-5x-x^3$$

   $$y’=(11)’-(5x)’-(x^3)’=-5-3x^2.$$

   Поскольку $$3x^2\ge 0$$, то $$y’=-5-3x^2<0$$ при любом $$x$$. Значит, функция убывает.

Ответ

а) возрастает; б) возрастает; в) убывает; г) убывает.