Упр.44.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная функция убывает на R: a) у = sin 2х — Зх; б) у = cos 3x + 4х.

Функция убывает на всей числовой прямой, если её производная неположительна при любом допустимом значении $$x$$.

1. $$y=\sin 2x-3x$$

   Найдём производную:

   $$y’=(\sin 2x)’-(3x)’=2\cos 2x-3.$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\cos 2x\le 2.$$

   Следовательно,

   $$2\cos 2x-3\le 2-3=-1<0.$$

   Значит, $$y'<0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция убывает на $$\mathbb{R}$$.

2. $$y=\cos 3x+4x$$

   Найдём производную:

   $$y’=(\cos 3x)’+(4x)’=-3\sin 3x+4.$$

   Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то

   $$-3\le -3\sin 3x\le 3.$$

   Следовательно,

   $$-3\sin 3x+4\ge -3+4=1>0.$$

   Значит, эта функция не убывает, а возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Ответ

а) $$y=\sin 2x-3x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$; б) $$y=\cos 3x+4x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.