Упр.44.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная функция возрастает на R: a) у = cos х + 2х; б) y = sin х + х3 + х; в) у = х5 + Зх3 + 7x + 4; г) у = х5 + 4х3 + 8х — 8.
Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при любом допустимом значении $$x$$.
$$y=\cos x+2x$$
$$y’=(\cos x)’+(2x)’=-\sin x+2.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то
$$1\le 2-\sin x\le 3,$$
значит, $$y’>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.
$$y=\sin x+x^3+x$$
$$y’=(\sin x)’+(x^3)’+(x)’=\cos x+3x^2+1.$$
Так как $$\cos x\ge -1$$ и $$3x^2\ge 0$$, то
$$y’=\cos x+3x^2+1\ge -1+0+1=0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.
$$y=x^5+3x^3+7x+4$$
$$y’=(x^5)’+3(x^3)’+(7x+4)’=5x^4+9x^2+7.$$
Так как $$5x^4\ge 0$$ и $$9x^2\ge 0$$, то
$$y’=5x^4+9x^2+7\ge 7>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.
$$y=x^5+4x^3+8x-8$$
$$y’=(x^5)’+4(x^3)’+(8x-8)’=5x^4+12x^2+8.$$
Так как $$5x^4\ge 0$$ и $$12x^2\ge 0$$, то
$$y’=5x^4+12x^2+8\ge 8>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.
Ответ
Во всех пунктах функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.
