Упр.43.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в каждой из указанных точек: a) f(x) = x2 — 1, если |x| > = 1, 1 — x2, если |x| < 1, x1 = -2, x2 = 0, x3 = 3. б) f(x) = x2 + 2, если x > = 0, 2 — x2, если x < 0, x1 = -1, x2 = 0, x3 = 2. в) f(x) = -3x, если x = < 0, корень(5x), если x > 0, x1 = -1, x2 = 1, x3 = 5. г) f(x) = корень(4 — 2x), если x = < 2, x - 2, если x > 2, x1 = -2, x2 = 2, x3 = 5.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\begin{cases}x^2-1,& |x|\ge 1,\\ 1-x^2,& |x|<1.\end{cases}$$
Найдём производную по частям:
$$f'(x)=\begin{cases}2x,& |x|\ge 1,\\ -2x,& |x|<1.\end{cases}$$
Тогда
$$f'(-2)=2\cdot(-2)=-4,\quad f'(0)=-2\cdot 0=0,\quad f'(3)=2\cdot 3=6.$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^2+2,& x\ge 0,\\ 2-x^2,& x<0.\end{cases}$$
Тогда
$$f'(x)=\begin{cases}2x,& x\ge 0,\\ -2x,& x<0.\end{cases}$$
Следовательно,
$$f'(-1)=-2\cdot(-1)=2,\quad f'(0)=2\cdot 0=0,\quad f'(2)=2\cdot 2=4.$$
в) $$f(x)=\begin{cases}-3x,& x\le 0,\\ \sqrt{5x},& x>0.\end{cases}$$
Тогда
$$f'(x)=\begin{cases}-3,& x\le 0,\\ \dfrac{5}{2\sqrt{5x}},& x>0.\end{cases}$$
Находим значения:
$$f'(-1)=-3,\quad f'(1)=\frac{5}{2\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{2},\quad f'(5)=\frac{5}{2\sqrt{25}}=\frac12.$$
г) $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{4-2x},& x\le 2,\\ x-2,& x>2.\end{cases}$$
Тогда
$$f'(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{\sqrt{4-2x}},& x\le 2,\\ 1,& x>2.\end{cases}$$
Вычислим:
$$f'(-2)=-\frac{1}{\sqrt{4-2(-2)}}=-\frac{1}{\sqrt8}=-\frac{\sqrt2}{4}.$$
При $$x=2$$ производная не существует, так как
$$f'(2)=-\frac{1}{\sqrt{4-4}}=-\frac{1}{0}.$$
А при $$x=5$$
$$f'(5)=1.$$