Упр.43.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = (x3 — 3×2 + 3x — 1)(x — 1), x0 = -1; б) f(x) = корень (x2 — 6x + 9) = -2; в) f(x) = (х4 — 3х3 + x)/x2, х0 = -0,1; г) f(x) = корень кубический(x3 — 6×2 + 12x — 8), x0 = -5.
$$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}, \quad x_0=-1.$$
Числитель раскладывается как куб разности:
$$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3.$$
Тогда
$$f(x)=\frac{(x-1)^3}{x-1}=(x-1)^2=x^2-2x+1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-2.$$
Подставим $$x_0=-1$$:
$$f'(-1)=2\cdot(-1)-2=-4.$$
$$f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}, \quad x_0=-2.$$
Подкоренное выражение — полный квадрат:
$$x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
Значит,
$$f(x)=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.$$
Так как при $$x_0=-2$$ имеем $$x_0<3$$, то
$$|x-3|=3-x.$$
Следовательно,
$$f'(x)=-1,$$
и потому
$$f'(-2)=-1.$$
$$f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2}, \quad x_0=-0{,}1.$$
Упростим выражение:
$$f(x)=\frac{x^2\left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)}{x^2}=x^2-3x+\frac{1}{x}.$$
Тогда
$$f'(x)=2x-3-\frac{1}{x^2}.$$
Подставим $$x_0=-0{,}1$$:
$$f'(-0{,}1)=2\cdot(-0{,}1)-3-\frac{1}{(-0{,}1)^2}=-0{,}2-3-100=-103{,}2.$$
$$f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}, \quad x_0=-5.$$
Подкоренное выражение представим в виде куба разности:
$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3.$$
Тогда
$$f(x)=\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$
Следовательно,
$$f'(x)=1,$$
и значит
$$f'(-5)=1.$$
Ответ
а) $$-4$$; б) $$-1$$; в) $$-103{,}2$$; г) $$1$$.
