Упр.43.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что касательная к параболе у = х2 в точке х = а делит пополам отрезок [0; а] оси абсцисс. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию у = хn, где n — натуральное число, большее 2.

Пусть $$f(x)=x^2$$, а точка касания имеет абсциссу $$x=a$$. Тогда

$$f(a)=a^2, \qquad f'(x)=2x, \qquad f'(a)=2a.$$

Уравнение касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

$$y=a^2+2a(x-a).$$

Упростим:

$$y=2ax-a^2.$$

Найдём абсциссу точки пересечения касательной с осью $$x$$:

$$2ax-a^2=0,$$

$$2ax=a^2,$$

$$x=\frac{a^2}{2a}=\frac a2.$$

Значит, касательная пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой $$\frac a2$$, то есть делит отрезок $$[0;a]$$ пополам.

Геометрический способ построения касательной: нужно отметить на оси абсцисс середину отрезка между началом координат и основанием перпендикуляра, опущенного из точки касания на ось $$x$$, и провести через эту точку и точку касания прямую.

Обобщим результат для функции $$f(x)=x^n$$, где $$n\in \mathbb N$$, $$n>2$$. Тогда

$$f(a)=a^n, \qquad f'(x)=nx^{n-1}, \qquad f'(a)=na^{n-1}.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^n+na^{n-1}(x-a).$$

Найдём её пересечение с осью $$x$$:

$$a^n+na^{n-1}(x-a)=0,$$

$$a^n+na^{n-1}x-na^n=0,$$

$$na^{n-1}x=(n-1)a^n,$$

$$x=\frac{(n-1)a}{n}.$$

Следовательно, касательная к графику $$y=x^n$$ в точке $$x=a$$ отсекает на оси абсцисс отрезок длины $$\frac{a}{n}$$ от точки с абсциссой $$a$$. Поэтому для построения касательной достаточно на оси $$x$$ отложить от точки $$a$$ влево отрезок длины $$\frac{a}{n}$$ и провести прямую через полученную точку и точку касания.

Ответ

Для $$y=x^2$$ касательная в точке $$x=a$$ пересекает ось $$x$$ в точке $$x=\frac a2$$, то есть делит отрезок $$[0;a]$$ пополам. Для $$y=x^n$$, $$n>2$$, касательная пересекает ось $$x$$ в точке $$x=\frac{(n-1)a}{n}$$, поэтому от точки $$a$$ на оси абсцисс нужно отложить влево отрезок длины $$\frac{a}{n}$$.