Упр.43.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой x0: a) f(x) = (x- 2)(x2 + 2х + 4), x0 = 3; б) f(x) = cos2 Зх — sin2 Sxr х0 = пи/6 в) f(x) = (2x + 1)(4х2 — 2х + 1), х0 = -1/2 г) f(x) = sin х • cos х • cos 2x, x0 = пи/4.

1. а) $$f(x)=(x-2)(x^2+2x+4), \quad x_0=3.$$

   Раскроем скобки:

   $$f(x)=x^3-8.$$

   Тогда

   $$f'(x)=3x^2.$$

   Найдём значение производной в точке $$x_0=3$$:

   $$f'(3)=3\cdot 3^2=27.$$

2. б) $$f(x)=\cos^2 3x-\sin^2 3x, \quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$

   Используем формулу:

   $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t.$$

   Тогда

   $$f(x)=\cos 6x,$$

   $$f'(x)=-6\sin 6x.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-6\sin \pi=0.$$

3. в) $$f(x)=(2x+1)(4x^2-2x+1), \quad x_0=-\frac12.$$

   Раскроем скобки:

   $$f(x)=8x^3+1.$$

   Тогда

   $$f'(x)=24x^2.$$

   Подставим $$x_0=-\frac12$$:

   $$f’\!\left(-\frac12\right)=24\cdot \left(-\frac12\right)^2=24\cdot \frac14=6.$$

4. г) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x, \quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   Преобразуем функцию:

   $$\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2},$$

   поэтому

   $$f(x)=\frac{\sin 2x}{2}\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\cos 4x.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos \pi=-1.$$

Ответ

а) $$27$$; б) $$0$$; в) $$6$$; г) $$-1$$.