Упр.43.69 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе y = a2 / x и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе.

Подробный ответ

Пусть точка касания гиперболы $$y=\frac{a^2}{x}$$ имеет абсциссу $$b$$. Тогда её координаты: $$\left(b;\frac{a^2}{b}\right).$$

Найдём уравнение касательной:

$$f(x)=\frac{a^2}{x}, \qquad f'(x)=-\frac{a^2}{x^2}, \qquad f'(b)=-\frac{a^2}{b^2}.$$

$$y=f(b)+f'(b)(x-b)=\frac{a^2}{b}-\frac{a^2}{b^2}(x-b).$$

Упростим:

$$y=\frac{a^2}{b}-\frac{a^2}{b^2}x+\frac{a^2}{b}=-\frac{a^2}{b^2}x+\frac{2a^2}{b}.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат:

при $$y=0$$ получаем
$$-\frac{a^2}{b^2}x+\frac{2a^2}{b}=0 \Rightarrow x=2b;$$

при $$x=0$$ получаем
$$y=\frac{2a^2}{b}.$$

Значит, треугольник, образованный касательной и осями координат, имеет катеты $$2b$$ и $$\frac{2a^2}{b}$$, поэтому его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 2b\cdot \frac{2a^2}{b}=2a^2.$$

Площадь не зависит от выбора точки касания.

Теперь докажем, что точка касания является центром описанной окружности. Обозначим точки пересечения касательной с осями через $$A(2b,0)$$ и $$B\left(0,\frac{2a^2}{b}\right),$$ а точку касания — через $$M\left(b,\frac{a^2}{b}\right).$$

Найдём расстояния:

$$MA=\sqrt{(2b-b)^2+\left(0-\frac{a^2}{b}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^4}{b^2}}=\frac{1}{b}\sqrt{b^4+a^4},$$

$$MB=\sqrt{\left(0-b\right)^2+\left(\frac{2a^2}{b}-\frac{a^2}{b}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^4}{b^2}}=\frac{1}{b}\sqrt{b^4+a^4}.$$

Следовательно, $$MA=MB.$$ Кроме того, треугольник $$OAB$$ прямоугольный, а точка $$M$$ лежит на его гипотенузе и равноудалена от её концов, значит, $$M$$ — середина гипотенузы. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности.

Геометрический способ построения касательной: взять на гиперболе точку $$M$$, провести окружность с центром в $$M$$ через начало координат; тогда касательная к гиперболе проходит через точки пересечения этой окружности с осями координат.