Упр.43.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Прямая у = 6х — 7 касается параболы у — х2 + bх + с в точке М(2; 5). Найдите значения коэффициентов b и с. б) Прямая у = 7х — 10 касается параболы у = ах2 + bх + с в точке х = 2. Найдите значения коэффициентов а, b и с, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке х = 1.

а) Пусть $$f(x)=x^2+bx+c.$$

Так как прямая $$y=6x-7$$ касается параболы в точке $$M(2;5),$$ то угловой коэффициент касательной равен производной в этой точке:

$$f'(x)=2x+b,$$

$$f'(2)=4+b=6,$$

откуда $$b=2.$$

Парабола проходит через точку $$M(2;5),$$ значит

$$5=2^2+2\cdot 2+c,$$

$$5=4+4+c,$$

откуда $$c=-3.$$

б) Пусть $$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Точка касания имеет абсциссу $$x=2,$$ значит её ордината равна

$$y=7\cdot 2-10=4.$$

Следовательно, точка касания — $$ (2;4). $$

Так как прямая $$y=7x-10$$ касается параболы, то

$$f'(x)=2ax+b,$$

$$f'(2)=4a+b=7.$$

Кроме того, парабола пересекает ось абсцисс в точке $$x=1,$$ значит

$$f(1)=a+b+c=0.$$

И ещё парабола проходит через точку $$ (2;4), $$ поэтому

$$4=4a+2b+c.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 4a+b=7,\\ a+b+c=0,\\ 4a+2b+c=4. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$b=7-4a.$$ Тогда из второго

$$c=-a-b=-a-(7-4a)=3a-7.$$

Подставим в третье:

$$4a+2(7-4a)+(3a-7)=4,$$

$$4a+14-8a+3a-7=4,$$

$$-a+7=4,$$

$$a=3.$$

Тогда

$$b=7-4\cdot 3=-5,$$

$$c=3\cdot 3-7=2.$$

Ответ

а) $$b=2,\ c=-3.$$ б) $$a=3,\ b=-5,\ c=2.$$