Упр.43.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Из какой точки оси у кривая у = корень(1 + х2) видна под углом 120°? б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола у = х2 видна под прямым углом.

а) Для кривой $$y=\sqrt{1+x^2}$$ найдём производную:

$$y’=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Так как функция чётная, искомая точка лежит на оси $$y$$, то есть $$x=0$$. Угол между касательными равен $$120^\circ$$, значит каждая касательная образует с осью $$x$$ угол

$$\varphi=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ,$$

поэтому её угловой коэффициент

$$k=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Решим уравнение:

$$ x\sqrt{3}=\sqrt{1+x^2},\\ 3x^2=1+x^2,\\ 2x^2=1,\\ x^2=\frac12,\\ x=\frac{1}{\sqrt2}. $$

Точка касания:

$$ y=\sqrt{1+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}=\sqrt{\frac32}. $$

Уравнение касательной в этой точке:

$$ y-\sqrt{\frac32}=\frac{1}{\sqrt3}\left(x-\frac{1}{\sqrt2}\right). $$

Подставим $$x=0$$, так как искомая точка лежит на оси $$y$$:

$$ y_0=\sqrt{\frac32}-\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt6}{6} =\frac{\sqrt6}{3}. $$

б) Для параболы $$y=x^2$$ рассмотрим точку касания $$A(a;a^2)$$. Тогда

$$y’=2x,\qquad k_1=2a.$$

Уравнение касательной:

$$ y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2. $$

Пусть из точки $$M(x_0;y_0)$$ к параболе проведены две касательные. Их угловые коэффициенты равны

$$ k_1=2x_0-2\sqrt{x_0^2-y_0},\qquad k_2=2x_0+2\sqrt{x_0^2-y_0}. $$

Так как угол между касательными прямой равен $$90^\circ$$, то

$$1+k_1k_2=0,$$

то есть

$$ \left(2x_0-2\sqrt{x_0^2-y_0}\right)\left(2x_0+2\sqrt{x_0^2-y_0}\right)=-1. $$

Получаем:

$$ 4x_0^2-4(x_0^2-y_0)=-1, $$

$$ 4y_0=-1, $$

$$ y_0=-\frac14. $$

Значит, искомое множество точек — вся прямая $$y=-\frac14$$.

Ответ

а) $$\left(0;\frac{\sqrt6}{3}\right)$$; б) $$y=-\frac14$$.