Упр.43.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что параболы у = ((х — 1)2)/2 и y = ((x + 1)2)/2 перпендикулярны в точке их пересечения.

Найдём точку пересечения парабол:

$$\frac{(x-1)^2}{2}=\frac{(x+1)^2}{2}$$

$$ (x-1)^2=(x+1)^2 $$

$$ x^2-2x+1=x^2+2x+1 $$

$$ -4x=0 $$

$$ x=0 $$

Тогда

$$ y=\frac{(0-1)^2}{2}=\frac12 $$

Точка пересечения: $$\left(0;\frac12\right)$$.

Найдём угловые коэффициенты касательных к параболам в этой точке:

$$f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}, \qquad g(x)=\frac{(x+1)^2}{2}$$

$$f'(x)=x-1, \qquad g'(x)=x+1$$

При $$x=0$$ получаем:

$$k_1=f'(0)=-1, \qquad k_2=g'(0)=1$$

Проверим условие перпендикулярности касательных:

$$k_1k_2=-1\cdot 1=-1$$

Значит, касательные в точке пересечения перпендикулярны, следовательно, и параболы перпендикулярны в этой точке.

Ответ

Параболы пересекаются в точке $$\left(0;\frac12\right)$$, а их касательные в этой точке имеют угловые коэффициенты $$-1$$ и $$1$$, поэтому параболы перпендикулярны.