Упр.43.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые: a) y = 1/x и у = корень х б) у = х2 и у = корень х ?

а) Найдём точку пересечения графиков:

$$\frac{1}{x}=\sqrt{x}$$

$$\frac{1}{x^2}=x$$

$$x^3=1,\quad x=1$$

Точка пересечения: $$ (1;1) $$.

Найдём угловые коэффициенты касательных:

$$f(x)=\frac{1}{x},\quad f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f'(1)=-1$$

$$g(x)=\sqrt{x},\quad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad g'(1)=\frac12$$

Тогда

$$\tan \varphi=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\frac{\frac12-(-1)}{1+(-1)\cdot \frac12}=\frac{\frac32}{\frac12}=3$$

Следовательно,

$$\varphi=\arctan 3\approx 71{,}57^\circ.$$

б) Найдём точки пересечения:

$$x^2=\sqrt{x}$$

$$x^4=x$$

$$x(x^3-1)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=1$$

Точки пересечения: $$ (0;0) $$ и $$ (1;1) $$.

В точке $$ (0;0) $$:

$$f(x)=x^2,\quad f'(x)=2x,\quad f'(0)=0$$

$$g(x)=\sqrt{x},\quad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

При $$x=0$$ производная второй функции не существует, касательная вертикальна, поэтому угол пересечения равен

$$\frac{\pi}{2}=90^\circ.$$

В точке $$ (1;1) $$:

$$f'(1)=2,\quad g'(1)=\frac12$$

$$\tan \varphi=\frac{2-\frac12}{1+2\cdot \frac12}=\frac{\frac32}{2}=\frac34$$

Значит,

$$\varphi=\arctan \frac34\approx 36{,}87^\circ.$$

Ответ

а) $$\arctan 3\approx 71{,}57^\circ$$;

б) $$90^\circ$$ и $$\arctan \frac34\approx 36{,}87^\circ$$.