Упр.43.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций у = х2 — х + 1 и у = х2 + 5х + 4. б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций у = х2 и у = -х2 — 8.

а) Пусть общая касательная имеет вид $$y=kx+m.$$ Тогда она касается парабол

$$y=x^2-x+1 \quad \text{и} \quad y=x^2+5x+4.$$

Для первой параболы получаем уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$:

$$y=a^2-a+1+(2a-1)(x-a)=2ax-x+1-a^2.$$

Для второй параболы в точке с абсциссой $$b$$:

$$y=b^2+5b+4+(2b+5)(x-b)=2bx+5x+4-b^2.$$

Так как касательная общая, их угловые коэффициенты равны:

$$2a-1=2b+5,$$

откуда

$$a=b+3.$$

Приравняем свободные члены:

$$1-a^2=4-b^2.$$

Подставим $$a=b+3$$:

$$1-(b+3)^2=4-b^2,$$

$$1-b^2-6b-9=4-b^2,$$

$$-6b-12=0,$$

$$b=-2.$$

Тогда

$$a=1.$$

Подставим в уравнение касательной:

$$y=2ax-x+1-a^2=2x-x+1-1=x.$$

б) Пусть общая касательная к графикам $$y=x^2$$ и $$y=-x^2-8$$ имеет вид $$y=kx+m.$$

Для параболы $$y=x^2$$ касательная в точке $$a$$:

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Для параболы $$y=-x^2-8$$ касательная в точке $$b$$:

$$y=-b^2-8-2b(x-b)=b^2-2bx-8.$$

Так как касательная общая, их угловые коэффициенты равны:

$$2a=-2b,$$

откуда

$$a=-b.$$

Приравняем свободные члены:

$$-a^2=b^2-8.$$

Подставим $$a=-b$$:

$$-b^2=b^2-8,$$

$$2b^2=8,$$

$$b^2=4,$$

$$b=\pm 2.$$

Получаем две общие касательные:

при $$b=-2$$:

$$y=4x-4,$$

при $$b=2$$:

$$y=-4x-4.$$

Найдём точку их пересечения:

$$4x-4=-4x-4,$$

$$8x=0,$$

$$x=0,$$

$$y=-4.$$

Ответ

а) $$y=x$$;

б) $$\left(0;\,-4\right).$$