Упр.43.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Точка А с абсциссой -1 и точка В с абсциссой 1 принадлежат графику функции у = 2х3 + Зх2 — x/2 + 1. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ. б) Точка А с абсциссой -3 и точка В с абсциссой 3 принадлежат графику функции у = 1/3 x3 — 2х2 — 22х — 28. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ.

Подробный ответ

а) Найдём угловой коэффициент прямой $$AB$$.

$$ y(-1)=2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-\frac{-1}{2}+1=\frac{5}{2}, $$
$$ y(1)=2\cdot1^3+3\cdot1^2-\frac{1}{2}+1=\frac{11}{2}. $$

Тогда
$$ k_{AB}=\frac{\frac{11}{2}-\frac{5}{2}}{1-(-1)}=\frac{3}{2}. $$

Производная функции:
$$ y’=6x^2+6x-\frac{1}{2}. $$

Касательная параллельна прямой $$AB$$, если
$$ 6x^2+6x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. $$
Отсюда
$$ 6x^2+6x-2=0, $$
$$ 3x^2+3x-1=0. $$
Пусть корни этого уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
$$ x_1+x_2=-\frac{3}{3}=-1. $$

б) Найдём угловой коэффициент прямой $$AB$$.

$$ y(-3)=\frac{1}{3}(-3)^3-2(-3)^2-22(-3)-28=11, $$
$$ y(3)=\frac{1}{3}\cdot3^3-2\cdot3^2-22\cdot3-28=-103. $$

Тогда
$$ k_{AB}=\frac{-103-11}{3-(-3)}=\frac{-114}{6}=-19. $$

Производная функции:
$$ y’=x^2-4x-22. $$

Касательная параллельна прямой $$AB$$, если
$$ x^2-4x-22=-19. $$
Отсюда
$$ x^2-4x-3=0. $$
Пусть корни этого уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
$$ x_1+x_2=4. $$