Упр.43.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите наименьшее положительное значение х, при котором касательные к графикам функций у = 3 cos 5x/2 и у = 5 cos 3x/2 + 2 параллельны. б) Найдите наибольшее отрицательное значение х, при котором касательные к графикам функций у = 2 — 14 sin 3х и у = 6 sin 7х параллельны.

а) Пусть $$f(x)=3\cos \frac{5x}{2}$$ и $$g(x)=5\cos \frac{3x}{2}+2.$$

Тогда

$$f'(x)=3\left(\cos \frac{5x}{2}\right)’=3\cdot\left(-\frac52\sin \frac{5x}{2}\right)=-\frac{15}{2}\sin \frac{5x}{2},$$

$$g'(x)=5\left(\cos \frac{3x}{2}\right)’=5\cdot\left(-\frac32\sin \frac{3x}{2}\right)=-\frac{15}{2}\sin \frac{3x}{2}.$$

Касательные параллельны, когда $$f'(x)=g'(x):$$

$$-\frac{15}{2}\sin \frac{5x}{2}=-\frac{15}{2}\sin \frac{3x}{2},$$

$$\sin \frac{5x}{2}=\sin \frac{3x}{2}.$$

Используем формулу:

$$\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}.$$

Тогда

$$2\sin \frac{x}{2}\cos 2x=0.$$

Отсюда

$$\sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

1) $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$

Наименьшее положительное значение здесь: $$x=2\pi.$$

2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Наименьшее положительное значение здесь: $$x=\frac{\pi}{4}.$$

Сравнивая, получаем наименьшее положительное значение $$x=\frac{\pi}{4}.$$

б) Пусть $$f(x)=2-14\sin 3x$$ и $$g(x)=6\sin 7x.$$

Тогда

$$f'(x)=(2)’-(14\sin 3x)’=0-14\cdot 3\cos 3x=-42\cos 3x,$$

$$g'(x)=(6\sin 7x)’=6\cdot 7\cos 7x=42\cos 7x.$$

Касательные параллельны, когда

$$-42\cos 3x=42\cos 7x,$$

$$\cos 7x+\cos 3x=0.$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos 5x\cos 2x=0.$$

Значит,

$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

1) $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$

Наибольшее отрицательное значение здесь получается при $$n=-1$$:

$$x=\frac{\pi}{10}-\frac{\pi}{5}=-\frac{\pi}{10}.$$

2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Наибольшее отрицательное значение здесь получается при $$n=-1$$:

$$x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{4}.$$

Из чисел $$-\frac{\pi}{10}$$ и $$-\frac{\pi}{4}$$ наибольшее отрицательное — $$-\frac{\pi}{10}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4}$$; б) $$-\frac{\pi}{10}$$.