Упр.43.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = корень tg x, a = пи/4; б) f(x) = cos2 x, a = пи/12; в) f(x) = ctg4 х, а = пи/4; г) f(x) = корень (2 — sin x), a = пи/2.

1. а) $$f(x)=\sqrt{\tg x}, \quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   Пусть $$u=\tg x,$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt{u}\right)’\cdot (\tg x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{\cos^2 x} =\frac{1}{2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\tg \frac{\pi}{4}}\cdot \cos^2 \frac{\pi}{4}} =\frac{1}{2\cdot 1\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2} =1.$$

2. б) $$f(x)=\cos^2 x, \quad a=\frac{\pi}{12}.$$

   Пусть $$u=\cos x,$$ тогда $$f(x)=u^2.$$

   $$f'(x)=(u^2)’\cdot (\cos x)’=2u\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac12.$$

3. в) $$f(x)=\ctg^4 x, \quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   Пусть $$u=\ctg x,$$ тогда $$f(x)=u^4.$$

   $$f'(x)=(u^4)’\cdot (\ctg x)’=4u^3\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) =-\frac{4\ctg^3 x}{\sin^2 x}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{4\ctg^3 \frac{\pi}{4}}{\sin^2 \frac{\pi}{4}} =-\frac{4\cdot 1^3}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2} =-8.$$

4. г) $$f(x)=\sqrt{2-\sin x}, \quad a=\frac{\pi}{2}.$$

   Пусть $$u=2-\sin x,$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt{u}\right)’\cdot (2-\sin x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(-\cos x) =-\frac{\cos x}{2\sqrt{2-\sin x}}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2\sqrt{2-\sin \frac{\pi}{2}}}=0.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-\frac12$$; в) $$-8$$; г) $$0$$.