Упр.43.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) К графику функции у = 2 sin2 х + корень3 sin 2х, х € [0; пи/2];проведена касательная, параллельная прямой у — 4х — 1 = 0. Найдите ординату точки касания. б) К графику функции у = 2 cos2 х + корень3 sin 2х, х € [пи/2; пи] проведена касательная, параллельная прямой 3у — 6х + 2 = 0. Найдите ординату точки касания.

а) Пусть $$f(x)=2\sin^2 x+\sqrt{3}\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos 2x.$$

Касательная параллельна прямой $$y-4x-1=0,$$ значит её угловой коэффициент равен $$k=4.$$ Тогда

$$4\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos 2x=4.$$

Разделим на 2:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos 2x=2.$$

Используем формулы $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$ и $$\cos 2x=1-2\sin^2 x.$$ Удобнее преобразовать так:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{3}(\cos^2 x-\sin^2 x)=2(\sin^2 x+\cos^2 x).$$

Получаем

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\tan^2 x-2\tan x+\left(2-\sqrt{3}\right)=0,$$

откуда

$$\tan x=2-\sqrt{3}.$$

Так как $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ то

$$x=\frac{\pi}{12}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=2\sin^2\frac{\pi}{12}+\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{6}.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ а $$2\sin^2\frac{\pi}{12}=1-\cos\frac{\pi}{6}=1-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac12=1.$$

б) Пусть $$f(x)=2\cos^2 x+\sqrt{3}\sin 2x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-4\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos 2x.$$

Касательная параллельна прямой $$3y-6x+2=0,$$ то есть $$y=2x-\frac23,$$ значит $$k=2.$$ Тогда

$$-4\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos 2x=2.$$

Разделим на 2:

$$-2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos 2x=1.$$

Преобразуем:

$$4\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=2,$$

то есть

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{6}+2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

С учётом $$x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ подходит

$$x=\frac{3\pi}{4}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=2\cos^2\frac{3\pi}{4}+\sqrt{3}\sin\frac{3\pi}{2}.$$

Так как $$\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$ то

$$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=2\cdot\frac12+\sqrt{3}\cdot(-1)=1-\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1-\sqrt{3}$$.