Упр.43.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каких значениях параметра а прямая у = ах + 1 является касательной к графику функции у = корень(4х + 1)? б) При каких значениях параметра а прямая у = 2х + а является касательной к графику функции у = корень(х — 1)?

а) Пусть прямая $$y=ax+1$$ касается графика функции $$y=\sqrt{4x+1}.$$ Тогда в точке касания их угловые коэффициенты равны:

$$f(x)=\sqrt{4x+1}, \qquad f'(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}.$$

Если абсцисса точки касания равна $$x_0,$$ то

$$\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}=a.$$

Кроме того, точка касания принадлежит обеим графикам, значит

$$\sqrt{4x_0+1}=ax_0+1.$$

Подставим $$a=\dfrac{2}{\sqrt{4x_0+1}}$$ в это равенство:

$$\sqrt{4x_0+1}=\frac{2x_0}{\sqrt{4x_0+1}}+1,$$

$$4x_0+1=2x_0+\sqrt{4x_0+1},$$

$$\sqrt{4x_0+1}=2x_0+1.$$

Возведём в квадрат:

$$4x_0+1=(2x_0+1)^2=4x_0^2+4x_0+1,$$

$$4x_0^2=0,$$

$$x_0=0.$$

Тогда

$$a=\frac{2}{\sqrt{4\cdot 0+1}}=2.$$

б) Пусть прямая $$y=2x+a$$ касается графика функции $$y=\sqrt{4x-1}.$$ Тогда

$$f(x)=\sqrt{4x-1}, \qquad f'(x)=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}.$$

В точке касания угловой коэффициент прямой равен $$2,$$ значит

$$\frac{2}{\sqrt{4x_0-1}}=2,$$

$$\frac{1}{\sqrt{4x_0-1}}=1,$$

$$\sqrt{4x_0-1}=1,$$

$$4x_0-1=1,$$

$$4x_0=2,$$

$$x_0=\frac12.$$

Подставим в уравнение функции и прямой:

$$\sqrt{4\cdot \frac12-1}=2\cdot \frac12+a,$$

$$\sqrt{1}=1+a,$$

$$1=1+a,$$

$$a=0.$$

Ответ

а) $$a=2$$; б) $$a=0$$.