Упр.43.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите все такие значения параметра а, при которых касательные, проведенные к графикам функций у = f(x) в точке (а; f(a)) и у = g(x) в точке (а; f(a)), параллельны: a) f(x) = х6; g(x) = х7; б) f(x) = х4; g(x) = х5.

а) $$f(x)=x^6,\quad g(x)=x^7.$$

Угловые коэффициенты касательных в точке $$x=a$$ равны производным:

$$f'(x)=6x^5,\quad g'(x)=7x^6,$$
$$f'(a)=6a^5,\quad g'(a)=7a^6.$$

Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

$$6a^5=7a^6,$$
$$a^5(6-7a)=0.$$

Отсюда $$a=0$$ или $$a=\frac{6}{7}.$$

При $$a=0$$ обе касательные совпадают, так как

$$f(0)=0,\quad g(0)=0.$$

Значит, подходит только $$a=\frac{6}{7}.$$

б) $$f(x)=x^4,\quad g(x)=x^5.$$

$$f'(x)=4x^3,\quad g'(x)=5x^4,$$
$$f'(a)=4a^3,\quad g'(a)=5a^4.$$

Условие параллельности касательных:

$$4a^3=5a^4,$$
$$a^3(4-5a)=0.$$

Получаем $$a=0$$ или $$a=\frac{4}{5}.$$

При $$a=0$$ касательные совпадают, так как

$$f(0)=0,\quad g(0)=0.$$

Следовательно, подходит $$a=\frac{4}{5}.$$

Ответ

а) $$\frac{6}{7}$$; б) $$\frac{4}{5}$$.