Упр.43.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Является ли прямая у = 4х — 5 касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания: a) у = х3 + х2 — х — 2; б) у = х3 — 2х2 — 1х — 13.

а) Пусть $$f(x)=x^3+x^2-x-2.$$ Тогда

$$f'(x)=3x^2+2x-1.$$

Если прямая $$y=4x-5$$ касается графика функции, то угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания:

$$f'(x)=4.$$

Получаем уравнение

$$3x^2+2x-1=4,$$

$$3x^2+2x-5=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64,$$

$$x=\frac{-2\pm 8}{6}.$$

Отсюда

$$x_1=1,\quad x_2=-\frac53.$$

Проверим, при каком из этих значений точка лежит на прямой $$y=4x-5$$:

$$f(1)=1^3+1^2-1-2=-1,$$

$$4\cdot 1-5=-1.$$

Значит, точка $$\left(1,-1\right)$$ подходит.

Для $$x=-\frac53$$ получаем

$$f\!\left(-\frac53\right)\ne 4\cdot\left(-\frac53\right)-5,$$

поэтому эта точка не является точкой касания.

б) Пусть $$f(x)=x^3-2x^2-7x-13.$$ Тогда

$$f'(x)=3x^2-4x-7.$$

Для касания с прямой $$y=4x-5$$ нужно, чтобы

$$f'(x)=4,$$

то есть

$$3x^2-4x-7=4,$$

$$3x^2-4x-11=0.$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-11)=148,$$

$$x=\frac{4\pm \sqrt{148}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{37}}{3}.$$

Проверим значения функции в этих точках. Ни одно из них не удовлетворяет равенству $$f(x)=4x-5$$, значит, касания нет.

Ответ

а) $$\left(1,-1\right)$$; б) прямая $$y=4x-5$$ не является касательной.