Упр.43.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 — рх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)? б) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 + рх2 в точке х = 1 проходит через точку (3; 2)?

а) Для функции $$y=x^3-px$$ найдём производную:

$$y’=3x^2-p.$$

В точке $$x=1$$ имеем:

$$y(1)=1-p,$$

$$y'(1)=3-p.$$

Уравнение касательной:

$$y-(1-p)=(3-p)(x-1).$$

Так как касательная проходит через точку $$ (2;3) $$, подставим её координаты:

$$3-(1-p)=(3-p)(2-1).$$

$$2+p=3-p,$$

$$2p=1,$$

$$p=\frac12.$$

б) Для функции $$y=x^3+px^2$$ найдём производную:

$$y’=3x^2+2px.$$

В точке $$x=1$$ имеем:

$$y(1)=1+p,$$

$$y'(1)=3+2p.$$

Уравнение касательной:

$$y-(1+p)=(3+2p)(x-1).$$

Так как касательная проходит через точку $$ (3;2) $$, подставим её координаты:

$$2-(1+p)=(3+2p)(3-1).$$

$$1-p=2(3+2p),$$

$$1-p=6+4p,$$

$$5p=-5,$$

$$p=-1.$$

Ответ

а) $$p=\frac12$$; б) $$p=-1$$.