Упр.43.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х2 — |2х — 6|, проведенных через точки с абсциссами х = 5, х = -5. б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х3 + |х — 1|, проведенных через точки с абсциссами х = 2, х = -2.

Подробный ответ

а) $$y=x^2-|2x-6|,\quad x=\pm 5.$$
Так как $$|2x-6|=\begin{cases}2x-6,& x\ge 3,\\ -2x+6,& x<3,\end{cases}$$ то
$$y=\begin{cases}x^2-2x+6,& x\ge 3,\\ x^2+2x-6,& x<3.\end{cases}$$
Для $$x=-5$$ имеем $$x<3$$, значит
$$y=x^2+2x-6,\quad y’=2x+2.$$
$$y(-5)=25-10-6=9,\qquad y'(-5)=2\cdot(-5)+2=-8.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=-8(x+5),$$
откуда
$$y=-8x-31.$$
Для $$x=5$$ имеем $$x\ge 3$$, значит
$$y=x^2-2x+6,\quad y’=2x-2.$$
$$y(5)=25-10+6=21,\qquad y'(5)=2\cdot 5-2=8.$$
Уравнение касательной:
$$y-21=8(x-5),$$
откуда
$$y=8x-19.$$
Найдём точку пересечения касательных:
$$8x-19=-8x-31,$$
$$16x=-12,\qquad x=-\frac34.$$
Тогда
$$y=8\cdot\left(-\frac34\right)-19=-6-19=-25.$$
б) $$y=x^3+|x-1|,\quad x=2,\,-2.$$
Так как $$|x-1|=\begin{cases}x-1,& x\ge 1,\\ -x+1,& x<1,\end{cases}$$ то
$$y=\begin{cases}x^3+x-1,& x\ge 1,\\ x^3-x+1,& x<1.\end{cases}$$
Для $$x=2$$ имеем $$x\ge 1$$, значит
$$y=x^3+x-1,\quad y’=3x^2+1.$$
$$y(2)=8+2-1=9,\qquad y'(2)=3\cdot 2^2+1=13.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=13(x-2),$$
откуда
$$y=13x-17.$$
Для $$x=-2$$ имеем $$x<1$$, значит
$$y=x^3-x+1,\quad y’=3x^2-1.$$
$$y(-2)=-8+2+1=-5,\qquad y'(-2)=3\cdot(-2)^2-1=11.$$
Уравнение касательной:
$$y+5=11(x+2),$$
откуда
$$y=11x+17.$$
Найдём точку пересечения касательных:
$$13x-17=11x+17,$$
$$2x=34,\qquad x=17.$$
Тогда
$$y=13\cdot 17-17=204.$$