Упр.43.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) На оси у взята точка Б, из нее проведены касательные к графику функции у = корень3 / 2 х2 + корень3 / 2Известно, что эти касательные образуют между собой угол 60°. Найдите координаты точки Б. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = корень3 /6 (1 — х2), которые пересекаются под углом 120° в точке, лежащей на оси у.
а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда для функции
$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$$
производная равна
$$y’=\sqrt{3}x.$$
Так как касательные симметричны относительно оси $$y$$, то точки касания имеют абсциссы $$x_0$$ и $$-x_0$$, а углы наклона касательных к оси $$x$$ равны $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен
$$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$
Тогда
$$\sqrt{3}x_0=\sqrt{3}, \qquad x_0=1.$$
Точка касания: $$A(1;\sqrt{3})$$. Уравнение касательной в этой точке:
$$y-\sqrt{3}=\sqrt{3}(x-1),$$
откуда
$$y=\sqrt{3}x.$$
Для симметричной точки касания получаем вторую касательную:
$$y=-\sqrt{3}x.$$
Их пересечение лежит на оси $$y$$, значит $$x=0$$. Подставляя в любое из уравнений, получаем $$y=0$$. Поэтому
$$B(0;0).$$
б) Для функции
$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$
имеем
$$y’=-\frac{\sqrt{3}}{3}x.$$
Касательные пересекаются под углом $$120^\circ$$, значит каждая из них образует с осью $$x$$ угол $$30^\circ$$, а их угловые коэффициенты равны
$$k=\pm \tan 30^\circ=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Тогда
$$-\frac{\sqrt{3}}{3}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad x=\mp 1.$$
При $$x=1$$:
$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-1^2)=0, \qquad y’=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
При $$x=-1$$:
$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-(-1)^2)=0, \qquad y’=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Ответ
а) $$B(0;0)$$.
б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
