Упр.43.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) На оси у взята точка B, из нее проведены касательные к графику функции у = 3 — 1/2х2. Известно, что эти касательные образуют между собой угол 90°. Найдите координаты точки В. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = 0,5х2 — 2,5, которые пересекаются под углом 90° в точке, лежащей на оси у.

Подробный ответ

а) Пусть касательные проведены к параболе $$y=3-\frac12x^2$$ в точках с абсциссами $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

$$y’=-x.$$

Так как график симметричен относительно оси $$y$$, а касательные образуют угол $$90^\circ$$, то они симметричны относительно оси $$y$$ и каждая из них составляет с осью $$x$$ угол $$45^\circ$$. Значит, их угловые коэффициенты равны $$\pm 1$$.

Для точки касания имеем $$-x=1$$, откуда $$x=-1$$.

Найдём ординату точки касания:

$$y(-1)=3-\frac12\cdot(-1)^2=3-\frac12=2{,}5.$$

Уравнение касательной:

$$y-2{,}5=1(x+1),$$

то есть

$$y=x+3{,}5.$$

Точка пересечения касательных лежит на оси $$y$$, значит при $$x=0$$ получаем

$$y=3{,}5.$$

Следовательно, $$B(0;3{,}5).$$

б) Для функции $$y=0{,}5x^2-2{,}5$$

$$y’=x.$$

Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y$$. Тогда точки касания симметричны относительно оси $$y$$, а их угловые коэффициенты равны $$\pm 1$$.

1) При $$x_1=-1$$:

$$y(-1)=0{,}5\cdot(-1)^2-2{,}5=0{,}5-2{,}5=-2,$$

$$y-(-2)=-1(x+1),$$

$$y=-x-3.$$

2) При $$x_2=1$$:

$$y(1)=0{,}5\cdot1^2-2{,}5=0{,}5-2{,}5=-2,$$

$$y-(-2)=1(x-1),$$

$$y=x-3.$$