Упр.43.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2/3. б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 27/8

а) Пусть касательная проведена в точке $$x=a$$, где $$a>0$$. Тогда для функции $$y=x^3$$ имеем

$$y’=3x^2,\qquad y'(a)=3a^2.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3.$$

Найдём точки пересечения с осями координат. При $$y=0$$:

$$3a^2x-2a^3=0,\qquad x=\frac{2a}{3}.$$

При $$x=0$$:

$$y=-2a^3.$$

Так как $$a>0$$, длины катетов треугольника равны

$$\frac{2a}{3}\quad \text{и} \quad 2a^3.$$

По условию площадь треугольника равна $$\frac{2}{3}$$, значит

$$\frac12\cdot \frac{2a}{3}\cdot 2a^3=\frac23.$$

Отсюда

$$\frac{2a^4}{3}=\frac23,\qquad a^4=1,\qquad a=1.$$

Подставляем в уравнение касательной:

$$y=3\cdot 1^2x-2\cdot 1^3=3x-2.$$

б) Пусть касательная проведена в точке $$x=a$$, где $$a<0$$. Тогда снова

$$y=3a^2x-2a^3.$$

Точки пересечения с осями:

$$x=\frac{2a}{3},\qquad y=-2a^3.$$

Так как $$a<0$$, длины катетов равны

$$-\frac{2a}{3}\quad \text{и} \quad -2a^3.$$

По условию площадь треугольника равна $$\frac{27}{8}$$, значит

$$\frac12\cdot \left(-\frac{2a}{3}\right)\cdot (-2a^3)=\frac{27}{8}.$$

Тогда

$$\frac{2a^4}{3}=\frac{27}{8},\qquad 16a^4=81,\qquad a^4=\frac{81}{16},\qquad a=-\frac32.$$

Подставляем:

$$y=3\left(-\frac32\right)^2x-2\left(-\frac32\right)^3=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$

Ответ

а) $$y=3x-2$$; б) $$y=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}$$.