Упр.43.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Составьте уравнение касательной к графику функции у = 1/x2, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25. б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = 1/x2, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 9/8.

а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a>0.$$ Тогда для функции $$y=\frac{1}{x^2}$$ имеем

$$y’=\left(x^{-2}\right)’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$

Уравнение касательной:

$$ y=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^3}(x-a)=\frac{3a-2x}{a^3}. $$

Найдём точки пересечения с осями координат:

при $$y=0$$ получаем $$3a-2x=0,$$ значит, $$x=\frac{3a}{2};$$

при $$x=0$$ получаем $$y=\frac{3a}{a^3}=\frac{3}{a^2}.$$

Площадь треугольника равна

$$ S=\frac12\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{3}{a^2}=2{,}25=\frac94. $$

Тогда

$$ \frac{9}{4a}=\frac94,\qquad a=1. $$

Подставляем в уравнение касательной:

$$ y=\frac{3\cdot 1-2x}{1^3}=3-2x. $$

б) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a<0.$$ Тогда касательная имеет вид

$$ y=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^3}(x-a)=\frac{3a-2x}{a^3}. $$

Точки пересечения с осями:

при $$y=0$$ получаем $$x=\frac{3a}{2};$$

при $$x=0$$ получаем $$y=\frac{3}{a^2}.$$

Так как $$a<0,$$ длина отрезка на оси $$x$$ равна $$-\frac{3a}{2}.$$ Тогда

$$ S=\frac12\cdot \left(-\frac{3a}{2}\right)\cdot \frac{3}{a^2}=\frac98. $$

Отсюда

$$ -\frac{9}{4a}=\frac98,\qquad -4a=8,\qquad a=-2. $$

Подставляем:

$$ y=\frac{3\cdot(-2)-2x}{(-2)^3}=\frac{3}{4}+\frac14x. $$

Ответ

а) $$y=3-2x$$; б) $$y=\frac14x+\frac34$$.