Упр.43.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции у = (3x — 1)/(x + 8), которые образуют угол 45° с осью х. б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции у = (x + 4)/(x — 5), которые образуют угол 135° с осью х.
а) Для функции $$y=\frac{3x-1}{x+8}$$ найдём производную:
$$ y’=\frac{(3x-1)'(x+8)-(3x-1)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}. $$
Касательная образует угол $$45^\circ$$ с осью $$x$$, значит её угловой коэффициент равен
$$\tan 45^\circ=1.$$
Тогда
$$ \frac{25}{(x+8)^2}=1, \qquad (x+8)^2=25. $$
Отсюда
$$ x+8=\pm 5, \qquad x_1=-13,\; x_2=-3. $$
Найдём ординаты точек пересечения касательных с осью $$y$$.
При $$x=-13$$:
$$ y(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8, $$
$$ y'(-13)=\frac{25}{(-13+8)^2}=1. $$
Уравнение касательной:
$$ y-8=1(x+13), \qquad y=x+21. $$
При $$x=0$$ получаем $$y=21$$, значит точка пересечения с осью $$y$$: $$\,(0;21).$$
При $$x=-3$$:
$$ y(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2, $$
$$ y'(-3)=\frac{25}{(-3+8)^2}=1. $$
Уравнение касательной:
$$ y+2=1(x+3), \qquad y=x+1. $$
При $$x=0$$ получаем $$y=1$$, значит точка пересечения с осью $$y$$: $$\,(0;1).$$
б) Для функции $$y=\frac{x+4}{x-5}$$ найдём производную:
$$ y’=\frac{(x+4)'(x-5)-(x+4)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{(x-5)-(x+4)}{(x-5)^2} =-\frac{9}{(x-5)^2}. $$
Касательная образует угол $$135^\circ$$ с осью $$x$$, значит
$$\tan 135^\circ=-1.$$
Тогда
$$ -\frac{9}{(x-5)^2}=-1, \qquad (x-5)^2=9. $$
Отсюда
$$ x-5=\pm 3, \qquad x_1=2,\; x_2=8. $$
При $$x=2$$:
$$ y(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2, $$
$$ y'(2)=-\frac{9}{(2-5)^2}=-1. $$
Уравнение касательной:
$$ y+2=-1(x-2), \qquad y=-x. $$
При $$x=0$$ получаем $$y=0$$, значит точка пересечения с осью $$y$$: $$\,(0;0).$$
При $$x=8$$:
$$ y(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4, $$
$$ y'(8)=-\frac{9}{(8-5)^2}=-1. $$
Уравнение касательной:
$$ y-4=-1(x-8), \qquad y=12-x. $$
При $$x=0$$ получаем $$y=12$$, значит точка пересечения с осью $$y$$: $$\,(0;12).$$
Ответ
а) $$\,(0;21),\ (0;1).$$
б) $$\,(0;0),\ (0;12).$$
