Упр.43.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите все значения х, при каждом из которых касательная к графику функции у = cos 7х + 7 cos х в точках с абсциссой х параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у = 2 — 14 sin Зх и у = 6 sin 7х в точках с абсциссой х = а параллельны.

а) Для функции $$y=\cos 7x+7\cos x$$ найдём производную:

$$y’=(\cos 7x)’ + 7(\cos x)’=-7\sin 7x-7\sin x=-7(\sin 7x+\sin x).$$

Касательная параллельна касательной в точке с абсциссой $$x=\frac{\pi}{6}$$, значит, угловые коэффициенты равны:

$$y’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Тогда

$$-7(\sin 7x+\sin x)=0,$$

$$\sin 7x+\sin x=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin \frac{7x+x}{2}\cos \frac{7x-x}{2}=0,$$

$$2\sin 4x\cos 3x=0.$$

Отсюда:

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

б) Для функций $$y_1=2-14\sin 3x$$ и $$y_2=6\sin 7x$$ найдём производные:

$$y_1’=-14\cdot 3\cos 3x=-42\cos 3x,$$

$$y_2’=6\cdot 7\cos 7x=42\cos 7x.$$

Касательные параллельны, если

$$-42\cos 3x=42\cos 7x,$$

$$\cos 7x+\cos 3x=0.$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos \frac{7x+3x}{2}\cos \frac{7x-3x}{2}=0,$$

$$2\cos 5x\cos 2x=0.$$

Отсюда:

$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

1) $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$

2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb{Z}.$$