Упр.43.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = корень(4х — 3), В(2; 3); б) f(x) = корень(2x + 1), 3(1; 2).

Подробный ответ

а) Для функции $$f(x)=\sqrt{4x-3}$$ найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{4x-3}\right)’=\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{2}{\sqrt{4x-3}}.$$
Уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$:
$$y=\sqrt{4a-3}+\frac{2}{\sqrt{4a-3}}(x-a).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(2;3)$$, подставим её координаты:
$$3=\sqrt{4a-3}+\frac{2}{\sqrt{4a-3}}(2-a).$$
Умножим на $$\sqrt{4a-3}$$:
$$ 3\sqrt{4a-3}=4a-3+4-2a $$
$$ 3\sqrt{4a-3}=2a+1 $$
Возведём в квадрат:
$$ 9(4a-3)=(2a+1)^2 $$
$$ 36a-27=4a^2+4a+1 $$
$$ 4a^2-32a+28=0 $$
$$ a^2-8a+7=0 $$
$$ (a-1)(a-7)=0 $$
$$ a=1 \text{ или } a=7. $$
Найдём уравнения касательных:
При $$a=1$$:
$$y=\sqrt{4\cdot1-3}+\frac{2}{\sqrt{4\cdot1-3}}(x-1)=1+2(x-1)=2x-1.$$
При $$a=7$$:
$$y=\sqrt{4\cdot7-3}+\frac{2}{\sqrt{4\cdot7-3}}(x-7)=5+\frac{2}{5}(x-7)=\frac{2}{5}x+\frac{11}{5}.$$
б) Для функции $$f(x)=\sqrt{2x+1}$$ найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{2x+1}\right)’=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.$$
Уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$:
$$y=\sqrt{2a+1}+\frac{1}{\sqrt{2a+1}}(x-a).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(1;2)$$, подставим её координаты:
$$2=\sqrt{2a+1}+\frac{1}{\sqrt{2a+1}}(1-a).$$
Умножим на $$\sqrt{2a+1}$$:
$$ 2\sqrt{2a+1}=2a+1+1-a $$
$$ 2\sqrt{2a+1}=a+2 $$
Возведём в квадрат:
$$ 4(2a+1)=(a+2)^2 $$
$$ 8a+4=a^2+4a+4 $$
$$ a^2-4a=0 $$
$$ a(a-4)=0 $$
$$ a=0 \text{ или } a=4. $$
Найдём уравнения касательных:
При $$a=0$$:
$$y=\sqrt{2\cdot0+1}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot0+1}}(x-0)=1+x=x+1.$$
При $$a=4$$:
$$y=\sqrt{2\cdot4+1}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot4+1}}(x-4)=3+\frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}.$$