Упр.43.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = f(x): a) f(x) = корень(3 — x), В(-2; 3); б) f(х) = корень(3 — x), В(4; 0).

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{3-x}$$:

$$f'(x)=\left(\sqrt{3-x}\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x=a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а) $$B(-2;3)$$

Подставим координаты точки в уравнение касательной:

$$3=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(-2-a).$$

Умножим на $$2\sqrt{3-a}$$:

$$6\sqrt{3-a}=2(3-a)+2+a=8-a.$$

Возведём в квадрат:

$$36(3-a)=(8-a)^2,$$

$$108-36a=64-16a+a^2,$$

$$a^2+20a-44=0.$$

$$D=20^2+4\cdot 44=576=24^2,$$

$$a_1=\frac{-20-24}{2}=-22,\qquad a_2=\frac{-20+24}{2}=2.$$

Найдём уравнения касательных:

при $$a=-22$$:

$$y=\sqrt{25}-\frac{1}{2\sqrt{25}}(x+22)=5-\frac{1}{10}(x+22)=2{,}8-0{,}1x;$$

при $$a=2$$:

$$y=\sqrt{1}-\frac{1}{2\sqrt{1}}(x-2)=1-\frac{1}{2}(x-2)=2-0{,}5x.$$

б) $$B(4;0)$$

Подставим координаты точки:

$$0=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(4-a).$$

Умножим на $$2\sqrt{3-a}$$:

$$2(3-a)-(4-a)=0,$$

$$6-2a-4+a=0,$$

$$2-a=0,$$

$$a=2.$$

Тогда

$$y=\sqrt{1}-\frac{1}{2\sqrt{1}}(x-2)=1-\frac{1}{2}(x-2)=2-0{,}5x.$$

Ответ

а) $$y=2{,}8-0{,}1x$$; $$y=2-0{,}5x$$; б) $$y=2-0{,}5x$$.