Упр.43.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = f(x): a) f(x) = -х2 — 7х + 8, В(1; 1); б) f(x) = -х2 — 7х + 8, В(0; 9).

Найдём производную функции:

$$f(x)=-x^2-7x+8,$$

$$f'(x)=-2x-7.$$

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$a$$ имеет вид:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а) $$B(1;1).$$

Подставим координаты точки в уравнение касательной:

$$1=f(a)+f'(a)(1-a).$$

$$1=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(1-a).$$

$$1=-a^2-7a+8-2a-7+2a^2+7a= a^2-2a+1.$$

$$a^2-2a=0,$$

$$a(a-2)=0,$$

$$a=0 \text{ или } a=2.$$

Если $$a=0,$$ то

$$y=f(0)+f'(0)(x-0)=8-7x.$$

Если $$a=2,$$ то

$$y=f(2)+f'(2)(x-2)=-10-11(x-2)=12-11x.$$

б) $$B(0;9).$$

Подставим координаты точки в уравнение касательной:

$$9=f(a)+f'(a)(0-a).$$

$$9=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(-a).$$

$$9=-a^2-7a+8+2a^2+7a=a^2+8.$$

$$a^2=1,$$

$$a=\pm 1.$$

Если $$a=-1,$$ то

$$y=f(-1)+f'(-1)(x+1)=14-5(x+1)=9-5x.$$

Если $$a=1,$$ то

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=0-9(x-1)=9-9x.$$

Ответ

а) $$y=8-7x,$$ $$y=12-11x.$$
б) $$y=9-5x,$$ $$y=9-9x.$$