Упр.43.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Проведите касательную к графику функции у = х2 + 1, проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если: a) А(-1; -2); б) А(0; 0); в) А(0; -3); г) А(-1; 1).
Для функции $$y=x^2+1$$ производная равна $$y’=2x.$$
Пусть точка касания имеет абсциссу $$a.$$ Тогда уравнение касательной:
$$y=(a^2+1)+2a(x-a)=1+2ax-a^2.$$
а) $$A(-1;-2)$$
Подставим координаты точки в уравнение касательной:
$$-2=1+2a(-1)-a^2$$
$$a^2+2a-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$
$$a_1=-3,\quad a_2=1.$$
Тогда касательные:
при $$a=-3$$:
$$y=1+2\cdot(-3)x-(-3)^2=-6x-8;$$
при $$a=1$$:
$$y=1+2\cdot 1\cdot x-1^2=2x.$$
б) $$A(0;0)$$
$$0=1-a^2$$
$$a^2=1,\quad a=\pm 1.$$
Касательные:
при $$a=-1$$:
$$y=1+2\cdot(-1)x-(-1)^2=-2x;$$
при $$a=1$$:
$$y=1+2x-1=2x.$$
в) $$A(0;-3)$$
$$-3=1-a^2$$
$$a^2=4,\quad a=\pm 2.$$
Касательные:
при $$a=-2$$:
$$y=1+2\cdot(-2)x-(-2)^2=-4x-3;$$
при $$a=2$$:
$$y=1+2\cdot 2x-2^2=4x-3.$$
г) $$A(-1;1)$$
$$1=1+2a(-1)-a^2$$
$$a^2+2a=0$$
$$a(a+2)=0,\quad a=0 \text{ или } a=-2.$$
Касательные:
при $$a=0$$:
$$y=1;$$
при $$a=-2$$:
$$y=1+2\cdot(-2)x-(-2)^2=-4x-3.$$
Ответ
а) $$y=-6x-8$$, $$y=2x$$; б) $$y=-2x$$, $$y=2x$$; в) $$y=-4x-3$$, $$y=4x-3$$; г) $$y=1$$, $$y=-4x-3$$.
