Упр.43.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Составьте уравнение той касательной к графику функции у = f(x), которая образует с осью х заданный угол а, если: a) f(х) = 1/корень3 x3 — Зкорень3 х, а = 60°; б) f(x) = 4/корень3 x — корень3 /3 x3, а = 30°
а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x,\quad \varphi=60^\circ.$$
Угловой коэффициент касательной:
$$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}(x^2-3).$$
Приравниваем к угловому коэффициенту касательной:
$$\sqrt{3}(x^2-3)=\sqrt{3}$$
$$x^2-3=1$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Для $$x_1=-2$$:
$$f(-2)=\frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3-3\sqrt{3}(-2)=-\frac{8}{\sqrt{3}}+6\sqrt{3}=\frac{10}{\sqrt{3}},$$
$$y-\frac{10}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(x+2),$$
$$y=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
Для $$x_2=2$$:
$$f(2)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 2^3-3\sqrt{3}\cdot 2=\frac{8}{\sqrt{3}}-6\sqrt{3}=-\frac{10}{\sqrt{3}},$$
$$y+\frac{10}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(x-2),$$
$$y=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3,\quad \varphi=30^\circ.$$
Угловой коэффициент касательной:
$$k=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3x^2=\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2=\frac{4-3x^2}{\sqrt{3}}.$$
Приравниваем к угловому коэффициенту:
$$\frac{4-3x^2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$4-3x^2=1$$
$$3x^2=3,\quad x=\pm 1.$$
Для $$x_1=-1$$:
$$f(-1)=\frac{4}{\sqrt{3}}(-1)-\frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3=-\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3},$$
$$y+\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1),$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Для $$x_2=1$$:
$$f(1)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$$
$$y-\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1),$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Ответ
а) $$y=\sqrt{3}x\pm \frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
