Упр.43.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) На графике функции у = х3 — Зх2 + х + 1 найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнения этих касательных. б) На графике функции у = (3x + 7)/(x + 2) найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°. Составьте уравнения этих касательных.

Подробный ответ

а) Для функции $$y=x^3-3x^2+x+1$$ найдём производную:
$$y’=3x^2-6x+1.$$
Касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$45^\circ$$, значит её угловой коэффициент равен
$$k=\tan 45^\circ=1.$$
Тогда
$$3x^2-6x+1=1,$$
$$3x^2-6x=0,$$
$$3x(x-2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=2.$$
Найдём точки касания:
$$y(0)=0^3-3\cdot 0^2+0+1=1,$$
$$y(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+1=8-12+3=-1.$$
Уравнения касательных:
при $$x=0$$:
$$y-1=1(x-0), \quad y=x+1;$$
при $$x=2$$:
$$y+1=1(x-2), \quad y=x-3.$$
б) Для функции $$y=\dfrac{3x+7}{x+2}$$ найдём производную:
$$y’=\frac{(3x+7)'(x+2)-(3x+7)(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{3(x+2)-(3x+7)}{(x+2)^2}=-\frac{1}{(x+2)^2}.$$
Касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$135^\circ$$, значит
$$k=\tan 135^\circ=-1.$$
Тогда
$$-\frac{1}{(x+2)^2}=-1,$$
$$\frac{1}{(x+2)^2}=1,$$
$$ (x+2)^2=1,$$
$$x+2=\pm 1.$$
Отсюда $$x=-3$$ или $$x=-1.$$
Найдём точки касания:
$$y(-3)=\frac{3\cdot(-3)+7}{-3+2}=\frac{-9+7}{-1}=2,$$
$$y(-1)=\frac{3\cdot(-1)+7}{-1+2}=\frac{-3+7}{1}=4.$$
Уравнения касательных:
при $$x=-3$$:
$$y-2=-1(x+3), \quad y=-x-1;$$
при $$x=-1$$:
$$y-4=-1(x+1), \quad y=3-x.$$