Упр.43.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = arccos х; б) у = arcctg х.
Найдём уравнение касательной к графику функции в точке, где её угловой коэффициент равен $$-1$$, то есть параллелен прямой $$y=2-x$$.
а) $$y=\arccos x$$
Производная:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Приравниваем к $$-1$$:
$$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=-1,$$
откуда
$$\sqrt{1-x^2}=1,$$
$$1-x^2=1,$$
$$x^2=0,$$
значит, $$x=0$$.
Тогда
$$y(0)=\arccos 0=\frac{\pi}{2}.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac{\pi}{2}=-1(x-0),$$
то есть
$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
б) $$y=\operatorname{arcctg} x$$
Производная:
$$y’=-\frac{1}{1+x^2}.$$
Приравниваем к $$-1$$:
$$-\frac{1}{1+x^2}=-1,$$
откуда
$$1+x^2=1,$$
$$x^2=0,$$
значит, $$x=0$$.
Тогда
$$y(0)=\operatorname{arcctg} 0=\frac{\pi}{2}.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac{\pi}{2}=-1(x-0),$$
то есть
$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
Ответ
а) $$y=\frac{\pi}{2}-x$$; б) $$y=\frac{\pi}{2}-x$$.
