Упр.43.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = (3x + 7)/(x — 3); б) y = (x + 9)/(x + 8).

Найдём точки графиков, в которых касательная параллельна прямой $$y=2-x$$. У этой прямой угловой коэффициент равен $$k=-1$$, значит, нужно решить уравнение $$y’=-1$$.

а) $$y=\frac{3x+7}{x-3}$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac{(3x+7)'(x-3)-(3x+7)(x-3)’}{(x-3)^2} =\frac{3(x-3)-(3x+7)}{(x-3)^2} =\frac{3x-9-3x-7}{(x-3)^2} =-\frac{16}{(x-3)^2}. $$

Приравниваем к $$-1$$:

$$ -\frac{16}{(x-3)^2}=-1 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^2=16. $$

Тогда

$$ x-3=\pm 4, \quad x_1=-1,\quad x_2=7. $$

Найдём уравнения касательных.

Для $$x_1=-1$$:

$$ y(-1)=\frac{3\cdot(-1)+7}{-1-3}=\frac{4}{-4}=-1. $$

Касательная:

$$ y-(-1)=-1(x-(-1)), $$

то есть

$$ y=-x-2. $$

Для $$x_2=7$$:

$$ y(7)=\frac{3\cdot 7+7}{7-3}=\frac{28}{4}=7. $$

Касательная:

$$ y-7=-1(x-7), $$

то есть

$$ y=14-x. $$

б) $$y=\frac{x+9}{x+8}$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac{(x+9)'(x+8)-(x+9)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{x+8-(x+9)}{(x+8)^2} =-\frac{1}{(x+8)^2}. $$

Приравниваем к $$-1$$:

$$ -\frac{1}{(x+8)^2}=-1 \quad\Rightarrow\quad (x+8)^2=1. $$

Тогда

$$ x+8=\pm 1, \quad x_1=-9,\quad x_2=-7. $$

Найдём уравнения касательных.

Для $$x_1=-9$$:

$$ y(-9)=\frac{-9+9}{-9+8}=0. $$

Касательная:

$$ y-0=-1(x-(-9)), $$

то есть

$$ y=-x-9. $$

Для $$x_2=-7$$:

$$ y(-7)=\frac{-7+9}{-7+8}=2. $$

Касательная:

$$ y-2=-1(x-(-7)), $$

то есть

$$ y=-x-5. $$

Ответ

а) $$y=-x-2$$, $$y=14-x$$; б) $$y=-x-9$$, $$y=-x-5$$.