Упр.43.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2-х: a) у = x3/3 + 5/2х2 — х; б) у = x3/3 + х2 — х.

Подробный ответ

Касательная к графику функции параллельна прямой $$y=2-x$$, значит её угловой коэффициент равен $$k=-1$$. Для касательной в точке $$x_0$$ должно выполняться условие $$f'(x_0)=-1$$.

а) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2+5x-1$$
Приравниваем к $$-1$$:
$$x^2+5x-1=-1$$
$$x^2+5x=0$$
$$x(x+5)=0$$
Отсюда $$x_1=0$$, $$x_2=-5$$.
1) При $$x_1=0$$:
$$f(0)=0,\quad f'(0)=-1$$
Уравнение касательной:
$$y=0-1(x-0)=-x$$
2) При $$x_2=-5$$:
$$f(-5)=\frac{(-5)^3}{3}+\frac{5}{2}\cdot(-5)^2-(-5)=\frac{-125}{3}+\frac{125}{2}+5=\frac{155}{6}$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{155}{6}-1(x+5)=\frac{155}{6}-x-5=\frac{125}{6}-x$$
б) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+x^2-x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2+2x-1$$
Приравниваем к $$-1$$:
$$x^2+2x-1=-1$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
Отсюда $$x_1=0$$, $$x_2=-2$$.
1) При $$x_1=0$$:
$$f(0)=0,\quad f'(0)=-1$$
Уравнение касательной:
$$y=0-1(x-0)=-x$$
2) При $$x_2=-2$$:
$$f(-2)=\frac{(-2)^3}{3}+(-2)^2-(-2)=-\frac{8}{3}+4+2=\frac{10}{3}$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{10}{3}-1(x+2)=\frac{10}{3}-x-2=\frac{4}{3}-x$$