Упр.43.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) — cos2 x, у = -х + 3; б) f(x) = arcctg (х2), у = -3; в) f(x) = корень sinx, у = 5; г) f(х) = (arcsin х)2, y = -5.

1. а) $$f(x)=\cos^2 x,\quad y=-x+3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

   Угловой коэффициент прямой $$y=-x+3$$ равен $$k=-1$$. Тогда

   $$-\sin 2x=-1,$$

   $$\sin 2x=1.$$

   Отсюда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$f(x)=\operatorname{arcctg}(x^2),\quad y=-3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\frac{1}{1+x^4}\cdot 2x=-\frac{2x}{1+x^4}.$$

   Для прямой $$y=-3$$ имеем $$k=0$$, значит

   $$-\frac{2x}{1+x^4}=0.$$

   Отсюда

   $$x=0.$$

3. в) $$f(x)=\sqrt{\sin x},\quad y=5$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.$$

   Для прямой $$y=5$$ имеем $$k=0$$, значит

   $$\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}=0.$$

   Следовательно,

   $$\cos x=0,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. г) $$f(x)=(\arcsin x)^2,\quad y=-5$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\arcsin x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

   Для прямой $$y=-5$$ имеем $$k=0$$, значит

   $$\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=0.$$

   Отсюда

   $$\arcsin x=0,$$

   значит

   $$x=0.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=0$$; в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=0$$.