Упр.43.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: В какой точке графика заданной функции у = f(x) касательная параллельна заданной прямой: a) у = 3 + x, f(x) = x3/3 — Зх2 + 10х — 4; б) у = 0, f(x) = x4/4 — х2 + 8; в) y = х — 3, f(x) = x3/3 — x2 + 2x — 7; г) y = 2, f(х) = 5/4х -х3 + 6?
а) $$f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4$$
Касательная параллельна прямой $$y=3+x$$, значит её угловой коэффициент равен $$1$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-6x+10$$
Приравняем к $$1$$:
$$x^2-6x+10=1$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x=3$$
б) $$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+8$$
Прямая $$y=0$$ имеет угловой коэффициент $$0$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-2x$$
Приравняем к $$0$$:
$$x^3-2x=0$$
$$x\left(x^2-2\right)=0$$
$$x\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$$
$$x=0,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2}$$
в) $$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x-7$$
Прямая $$y=x-3$$ имеет угловой коэффициент $$1$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-2x+2$$
Приравняем к $$1$$:
$$x^2-2x+2=1$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
г) $$f(x)=\frac{5}{4}x^4-x^3+6$$
Прямая $$y=2$$ горизонтальна, значит её угловой коэффициент равен $$0$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=5x^3-3x^2$$
Приравняем к $$0$$:
$$5x^3-3x^2=0$$
$$x^2\left(5x-3\right)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{3}{5}$$
Ответ
а) $$x=3$$; б) $$x=0,\ \pm\sqrt{2}$$; в) $$x=1$$; г) $$x=0,\ \frac{3}{5}$$.
